🌟 18.3 分式的加法与减法 同步练习
一、 单选题 (1-12)
1．计算 $\frac{4}{a-2} - \frac{a+2}{a-2}$ 的结果为（ ）
2．化简 $\frac{a}{a-1} + \frac{1}{1-a}$ 的结果为（ ）
3．若 $x$ 为整数，则使分式 $\frac{x^2-9}{x^2} \div \frac{x-3}{x}$ 的值为整数的 $x$ 的个数有（ ）
4．下列分式，是最简分式的是（ ）
5．下列各式化简后，结果为 $1$ 的是（ ）
6．计算 $x+1 - \frac{x^2}{x-1}$ 的结果为（ ）
7．如果 $a^2+3a+1=0$，那么代数式 $(\frac{a^2+9}{a}+6) \cdot \frac{2a}{2a+3}$ 的值为（ ）
8．一项工程，甲单独做需要 $m$ 天完成，乙单独做需要 $n$ 天完成，则甲、乙合作完成工程需要的天数为（ ）
9．若 $a-b=2ab$，则 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ 的值为（ ）
10．对于分式：$\frac{x^2}{x-1}, \frac{1}{x-1}, \frac{x^2}{x+1}, \frac{1}{x+1}, \frac{2x}{x+1}$，在每个式子前添“+”或“-”号，并求和的绝对值，称此操作为“绝对和差操作”。
对于“绝对和差操作：$+\frac{x^2}{x-1} -\frac{1}{x-1} +\frac{x^2}{x+1} +\frac{1}{x+1} -\frac{2x}{x+1}$，若 $x < -1$，则下列说法正确个数是（ ）
① 若 $x<-1$，则化简后的结果为 $-2x^2+2x+1$；
② 至少存在一种操作使化简后的结果为常数；
③ 所有可能的操作化简后有32种不同结果。
对于“绝对和差操作：$+\frac{x^2}{x-1} -\frac{1}{x-1} +\frac{x^2}{x+1} +\frac{1}{x+1} -\frac{2x}{x+1}$，若 $x < -1$，则下列说法正确个数是（ ）
① 若 $x<-1$，则化简后的结果为 $-2x^2+2x+1$；
② 至少存在一种操作使化简后的结果为常数；
③ 所有可能的操作化简后有32种不同结果。
11．当分别取 $-2015, -2014, -2013, \dots, -2, -1, 0, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{2014}, \frac{1}{2015}$ 时，计算分式 $\frac{x^2-1}{x^2+1}$ 的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
12．已知关于 $x,y,z$ 的单项式 $x^a y^b z^c$（$a,b,c$ 均为正整数），该单项式的次数为 $n$。
记 $f(x,y,z) = \frac{x^a y^b z^c}{xyz}$，判断下列说法正确的有（ ）个。
记 $f(x,y,z) = \frac{x^a y^b z^c}{xyz}$，判断下列说法正确的有（ ）个。
二、 填空题 (13-17)
13．当 $a=2022$ 时，分式 $\frac{a^2}{a-1} + \frac{1}{1-a}$ 的值是 ．
14．化简：$\frac{x^2}{x-y} + \frac{y^2}{y-x} =$ ．
15．对于正数 $x$，规定 $f(x) = \frac{x}{x+1}$。
(1) $f(x) + f(\frac{1}{x}) =$ ；
(2) $f(2020) + f(2019) + \dots + f(2) + f(1) + f(\frac{1}{2}) + \dots + f(\frac{1}{2019}) + f(\frac{1}{2020}) =$ ．
(1) $f(x) + f(\frac{1}{x}) =$ ；
(2) $f(2020) + f(2019) + \dots + f(2) + f(1) + f(\frac{1}{2}) + \dots + f(\frac{1}{2019}) + f(\frac{1}{2020}) =$ ．
16．化简：$(x+2 - \frac{5}{x-2}) \div \frac{x-3}{2x-4} =$ ．
17．已知 $x, y, z, a, b$ 均为非零实数，且满足 $\frac{xy}{x+y} = \frac{1}{a^3-b^3}$，$\frac{yz}{y+z} = \frac{1}{a^3}$，$\frac{xz}{x+z} = \frac{1}{a^3+b^3}$，$\frac{xyz}{xy+yz+zx} = \frac{2}{81}$，则 $a$ 的值为 ．
三、 解答题 (18-24)
18．先化简，再求值：$(\frac{x}{x-1} - 1) \div \frac{x^2+2x+1}{x^2-1}$，其中 $x = \sqrt{2}-1$。
【参考答案与解析】
解：
原式 $= (\frac{x}{x-1} - \frac{x-1}{x-1}) \div \frac{(x+1)^2}{(x+1)(x-1)}$
$= \frac{x - (x-1)}{x-1} \div \frac{x+1}{x-1}$
$= \frac{1}{x-1} \times \frac{x-1}{x+1}$
$= \frac{1}{x+1}$。
当 $x = \sqrt{2}-1$ 时，
原式 $= \frac{1}{\sqrt{2}-1+1} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
解：
原式 $= (\frac{x}{x-1} - \frac{x-1}{x-1}) \div \frac{(x+1)^2}{(x+1)(x-1)}$
$= \frac{x - (x-1)}{x-1} \div \frac{x+1}{x-1}$
$= \frac{1}{x-1} \times \frac{x-1}{x+1}$
$= \frac{1}{x+1}$。
当 $x = \sqrt{2}-1$ 时，
原式 $= \frac{1}{\sqrt{2}-1+1} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
19．若 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} \neq 0$，求 $\frac{a+b}{c}$ 的值。
【参考答案与解析】
解：
设 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = k$ ($k \neq 0$)，
则 $a = 2k$，$b = 3k$，$c = 4k$。
代入待求式：
$\frac{a+b}{c} = \frac{2k+3k}{4k} = \frac{5k}{4k} = \frac{5}{4}$。
解：
设 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = k$ ($k \neq 0$)，
则 $a = 2k$，$b = 3k$，$c = 4k$。
代入待求式：
$\frac{a+b}{c} = \frac{2k+3k}{4k} = \frac{5k}{4k} = \frac{5}{4}$。
20．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：$\frac{2}{x+1} + \frac{x+5}{x^2-1}$，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
甲同学：
$\frac{2}{x+1} + \frac{x+5}{x^2-1}$
$= \frac{2x-1}{(x+1)(x-1)} + \frac{x+5}{(x+1)(x-1)}$ 第一步
$= \frac{2+x+5}{(x+1)(x-1)}$ 第二步
$= \frac{x+7}{(x+1)(x-1)}$ 第三步
乙同学：
$= \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{x+5}{(x+1)(x-1)}$ 第一步
$= 2x-2 + x+5$ 第二步
$= 3x+3$ 第三步
老师发现这两位同学的解答都有错误：甲同学的解答从第 步开始出现错误；乙同学的解答从第 步开始出现错误；请重新写出完成此题的正确解答过程。
甲同学：
$\frac{2}{x+1} + \frac{x+5}{x^2-1}$
$= \frac{2x-1}{(x+1)(x-1)} + \frac{x+5}{(x+1)(x-1)}$ 第一步
$= \frac{2+x+5}{(x+1)(x-1)}$ 第二步
$= \frac{x+7}{(x+1)(x-1)}$ 第三步
乙同学：
$= \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{x+5}{(x+1)(x-1)}$ 第一步
$= 2x-2 + x+5$ 第二步
$= 3x+3$ 第三步
老师发现这两位同学的解答都有错误：甲同学的解答从第 步开始出现错误；乙同学的解答从第 步开始出现错误；请重新写出完成此题的正确解答过程。
【正确解答过程】
$\frac{2}{x+1} + \frac{x+5}{x^2-1}$
$= \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{x+5}{(x+1)(x-1)}$
$= \frac{2x-2+x+5}{(x+1)(x-1)}$
$= \frac{3x+3}{(x+1)(x-1)}$
$= \frac{3(x+1)}{(x+1)(x-1)}$
$= \frac{3}{x-1}$。
$\frac{2}{x+1} + \frac{x+5}{x^2-1}$
$= \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{x+5}{(x+1)(x-1)}$
$= \frac{2x-2+x+5}{(x+1)(x-1)}$
$= \frac{3x+3}{(x+1)(x-1)}$
$= \frac{3(x+1)}{(x+1)(x-1)}$
$= \frac{3}{x-1}$。
21．先化简，再求值：$(\frac{a+1}{a-1} - \frac{1}{a-1}) \div \frac{a}{a^2-1}$，其中 $a=3$。
【参考答案与解析】
解：
原式 $= (\frac{a+1-1}{a-1}) \div \frac{a}{(a+1)(a-1)}$
$= \frac{a}{a-1} \times \frac{(a+1)(a-1)}{a}$
$= a+1$。
当 $a=3$ 时，
原式 $= 3+1 = 4$。
解：
原式 $= (\frac{a+1-1}{a-1}) \div \frac{a}{(a+1)(a-1)}$
$= \frac{a}{a-1} \times \frac{(a+1)(a-1)}{a}$
$= a+1$。
当 $a=3$ 时，
原式 $= 3+1 = 4$。
22．已知分式 $A = (\frac{4}{x-2} - x+2) \div \frac{x^2-x}{x}$，解答下列问题：
(1) 化简分式 $A$；
(2) 分式 $A$ 的值能等于 $-2$ 吗？请说明理由。
(1) 化简分式 $A$；
(2) 分式 $A$ 的值能等于 $-2$ 吗？请说明理由。
【参考答案与解析】
(1) 解：
因为原卷表达式排版存在歧义，这里统一按参考答案的逻辑还原。
原分式应为：$A = (\frac{4}{x-2} - \frac{x-2}{1}) \div \frac{x^2-x}{...}$ (此处原卷化简过程写为 $\cdot \frac{2-x}{x}$ 等)
我们遵循标准化简步骤：
$A = \frac{4-(x-2)^2}{x-2} \cdot \frac{...}{...} = x-4$。(过程略，最终化简结果为 $x-4$)
(2) 解：
分式 $A$ 的值不能等于 $-2$。
理由：令 $x-4 = -2$，解得 $x = 2$。
当 $x = 2$ 时，原分式中的分母 $x-2 = 0$，分式无意义。
所以，分式 $A$ 的值不能等于 $-2$。
(1) 解：
因为原卷表达式排版存在歧义，这里统一按参考答案的逻辑还原。
原分式应为：$A = (\frac{4}{x-2} - \frac{x-2}{1}) \div \frac{x^2-x}{...}$ (此处原卷化简过程写为 $\cdot \frac{2-x}{x}$ 等)
我们遵循标准化简步骤：
$A = \frac{4-(x-2)^2}{x-2} \cdot \frac{...}{...} = x-4$。(过程略，最终化简结果为 $x-4$)
(2) 解：
分式 $A$ 的值不能等于 $-2$。
理由：令 $x-4 = -2$，解得 $x = 2$。
当 $x = 2$ 时，原分式中的分母 $x-2 = 0$，分式无意义。
所以，分式 $A$ 的值不能等于 $-2$。
23．数学项目化学习课上，姜子牙和申公豹在讨论师父元始天尊出的一道求值问题：
已知非零实数 $x, y$ 同时满足等式 $x^2+4x=y+4$，$y^2+4y=x+4$，求 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ 的值。
申公豹：哈哈！$x=y$ 时结果为正数。
姜子牙：$x, y$ 不一定相等哦。
结合他们的对话，请解答下列问题：
(1) 当 $x=y$ 时，求 $x$ 的值；
(2) 判断 $x$ 和 $y$ 之间的关系，并说明理由；
(3) 求 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ 的值。
已知非零实数 $x, y$ 同时满足等式 $x^2+4x=y+4$，$y^2+4y=x+4$，求 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ 的值。
申公豹：哈哈！$x=y$ 时结果为正数。
姜子牙：$x, y$ 不一定相等哦。
结合他们的对话，请解答下列问题：
(1) 当 $x=y$ 时，求 $x$ 的值；
(2) 判断 $x$ 和 $y$ 之间的关系，并说明理由；
(3) 求 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ 的值。
【参考答案与解析】
(1) 解：
当 $x=y$ 时，代入第一个等式得：$x^2+4x = x+4$，即 $x^2+3x-4 = 0$。
分解因式得 $(x-1)(x+4) = 0$。
解得 $x_1 = 1, x_2 = -4$。
所以当 $x=y$ 时，$x$ 的值为 $1$ 或 $-4$。
(2) 解：
由 ① $x^2+4x = y+4$，② $y^2+4y = x+4$。
① - ② 得：$x^2-y^2 + 4x-4y = y-x$。
$(x-y)(x+y) + 4(x-y) + (x-y) = 0$。
$(x-y)(x+y+5) = 0$。
所以 $x-y = 0$ 或 $x+y+5 = 0$。
即 $x=y$ 或 $x+y=-5$。
(3) 解：
当 $x=y$ 时，$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 1+1 = 2$。
当 $x+y=-5$ 时，
① + ② 得：$x^2+y^2+4(x+y) = x+y+8$。
$x^2+y^2 = 8 - 3(x+y) = 8 - 3(-5) = 23$。
又 $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy \Rightarrow (-5)^2 = 23+2xy \Rightarrow 25 = 23+2xy \Rightarrow xy=1$。
所以 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{23}{1} = 23$。
综上，$\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ 的值为 $2$ 或 $23$。
(1) 解：
当 $x=y$ 时，代入第一个等式得：$x^2+4x = x+4$，即 $x^2+3x-4 = 0$。
分解因式得 $(x-1)(x+4) = 0$。
解得 $x_1 = 1, x_2 = -4$。
所以当 $x=y$ 时，$x$ 的值为 $1$ 或 $-4$。
(2) 解：
由 ① $x^2+4x = y+4$，② $y^2+4y = x+4$。
① - ② 得：$x^2-y^2 + 4x-4y = y-x$。
$(x-y)(x+y) + 4(x-y) + (x-y) = 0$。
$(x-y)(x+y+5) = 0$。
所以 $x-y = 0$ 或 $x+y+5 = 0$。
即 $x=y$ 或 $x+y=-5$。
(3) 解：
当 $x=y$ 时，$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 1+1 = 2$。
当 $x+y=-5$ 时，
① + ② 得：$x^2+y^2+4(x+y) = x+y+8$。
$x^2+y^2 = 8 - 3(x+y) = 8 - 3(-5) = 23$。
又 $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy \Rightarrow (-5)^2 = 23+2xy \Rightarrow 25 = 23+2xy \Rightarrow xy=1$。
所以 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{23}{1} = 23$。
综上，$\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ 的值为 $2$ 或 $23$。
24．已知正数 $a, b, c, m, n$ 满足 $m+3n = \frac{b}{a}$，$mn = \frac{c}{a}$。
(1) 当 $b=4, c=2$ 时，请用含 $m$ 的式子表示 $n$；
(2) 已知 $a, b, c$ 满足 $b^2-12ac=0$；
① 求证：$m=3n$；
② 若 $\frac{1}{n} + \frac{3}{m} > \frac{a}{b} + 1$，求 $n$ 的取值范围。
(1) 当 $b=4, c=2$ 时，请用含 $m$ 的式子表示 $n$；
(2) 已知 $a, b, c$ 满足 $b^2-12ac=0$；
① 求证：$m=3n$；
② 若 $\frac{1}{n} + \frac{3}{m} > \frac{a}{b} + 1$，求 $n$ 的取值范围。
【参考答案与解析】
(1) 解：
当 $b=4, c=2$ 时，
$m+3n = \frac{4}{a}$，且 $mn = \frac{2}{a}$。
所以 $m+3n = 2mn$。
解得 $3n - 2mn = -m \Rightarrow n(2m-3) = m$。
所以 $n = \frac{m}{2m-3}$ ($m \neq \frac{3}{2}$)。
(2) ① 证明：
由已知得 $b = a(m+3n)$， $c = amn$。
代入 $b^2-12ac=0$，得：
$[a(m+3n)]^2 - 12a \cdot (amn) = 0$。
$a^2(m^2+6mn+9n^2) - 12a^2mn = 0$。
因为 $a$ 为正数，所以 $a^2 \neq 0$。两边同除以 $a^2$：
$m^2 - 6mn + 9n^2 = 0$。
$(m-3n)^2 = 0$。
所以 $m = 3n$。
② 解：
由 $m+3n = \frac{b}{a}$ 得 $\frac{a}{b} = \frac{1}{m+3n}$。
因为 $m=3n$，代入不等式 $\frac{1}{n} + \frac{3}{m} > \frac{a}{b} + 1$：
$\frac{1}{n} + \frac{3}{3n} > \frac{1}{3n+3n} + 1$。
$\frac{2}{n} > \frac{1}{6n} + 1$。
$\frac{11}{6n} > 1$。
因为 $n$ 是正数，所以解得 $n < \frac{11}{6}$ (参考答案写为 $11/16$ 系原题参数可能存在笔误，此处按推导结果写)。
结合 $n > 0$，所以 $n$ 的取值范围是 $0 < n < \frac{11}{6}$。
(1) 解：
当 $b=4, c=2$ 时，
$m+3n = \frac{4}{a}$，且 $mn = \frac{2}{a}$。
所以 $m+3n = 2mn$。
解得 $3n - 2mn = -m \Rightarrow n(2m-3) = m$。
所以 $n = \frac{m}{2m-3}$ ($m \neq \frac{3}{2}$)。
(2) ① 证明：
由已知得 $b = a(m+3n)$， $c = amn$。
代入 $b^2-12ac=0$，得：
$[a(m+3n)]^2 - 12a \cdot (amn) = 0$。
$a^2(m^2+6mn+9n^2) - 12a^2mn = 0$。
因为 $a$ 为正数，所以 $a^2 \neq 0$。两边同除以 $a^2$：
$m^2 - 6mn + 9n^2 = 0$。
$(m-3n)^2 = 0$。
所以 $m = 3n$。
② 解：
由 $m+3n = \frac{b}{a}$ 得 $\frac{a}{b} = \frac{1}{m+3n}$。
因为 $m=3n$，代入不等式 $\frac{1}{n} + \frac{3}{m} > \frac{a}{b} + 1$：
$\frac{1}{n} + \frac{3}{3n} > \frac{1}{3n+3n} + 1$。
$\frac{2}{n} > \frac{1}{6n} + 1$。
$\frac{11}{6n} > 1$。
因为 $n$ 是正数，所以解得 $n < \frac{11}{6}$ (参考答案写为 $11/16$ 系原题参数可能存在笔误，此处按推导结果写)。
结合 $n > 0$，所以 $n$ 的取值范围是 $0 < n < \frac{11}{6}$。